논리학 1강. 명제논리와 진리표
논리학은 문장의 내용을 지우고 뼈대만 남긴다. 뼈대의 참·거짓 계산법이 진리표다.
풀고 시작
문제 1. "만약 내가 대통령이라면 세금을 없앤다"라는 조건문은, 내가 대통령이 아닐 때 참인가 거짓인가?
💡 고전 논리에서 조건문(P→Q)은 전제 P가 거짓이면 무조건 참이다. 직관과 어긋나는 이 규약이 명제논리에서 가장 많이 틀리는 지점이다. 본문에서 이유를 본다.
명제란 무엇인가
명제(proposition)는 참이거나 거짓인 문장이다. "서울은 한국의 수도다"는 명제다. "문 닫아라"(명령), "몇 시야?"(질문)는 명제가 아니다. 논리학은 명제의 내용에는 관심이 없다. P, Q 같은 기호로 바꾸고 명제들을 잇는 연결 방식만 본다.
다섯 개의 연결사
| 기호 | 이름 | 읽기 | 참이 되는 조건 |
|---|---|---|---|
| ¬P | 부정 | P가 아니다 | P가 거짓일 때 |
| P ∧ Q | 연언 | P 그리고 Q | 둘 다 참일 때만 |
| P ∨ Q | 선언 | P 또는 Q | 적어도 하나가 참일 때 |
| P → Q | 조건 | P라면 Q | P가 참인데 Q가 거짓인 경우만 빼고 전부 |
| P ↔ Q | 쌍조건 | P인 것과 Q인 것은 같다 | 둘의 진리값이 같을 때 |
주의할 것 둘. 논리학의 "또는"(∨)은 둘 다 참이어도 참인 포괄적 또는이다. 일상어의 "짜장 아니면 짬뽕"(둘 중 하나만)과 다르다.
조건문의 함정
P → Q는 P가 거짓이면 Q와 무관하게 참이다. 왜 이런 규약을 두는가. 조건문은 약속으로 이해하면 된다. "비가 오면 우산을 가져가겠다"는 약속은 비가 안 온 날에는 깨질 방법이 없다. 깨지지 않은 약속은 지켜진 것으로 친다. 조건문이 거짓이 되는 경우는 단 하나, 전제가 참인데 결론이 거짓일 때뿐이다.
진리표: 참·거짓의 계산기
진리표(truth table)는 명제 변수의 모든 참·거짓 조합에서 전체 문장의 값을 기계적으로 계산한다. 변수가 n개면 행은 2ⁿ개다. 진리표로 세 부류가 갈린다.
- 항진명제(tautology): 모든 행에서 참. 예: P ∨ ¬P ("비가 오거나 안 온다").
- 모순명제(contradiction): 모든 행에서 거짓. 예: P ∧ ¬P.
- 우연명제(contingency): 행에 따라 갈림. 세계가 어떤지 봐야 안다.
항진명제는 세계에 대해 아무것도 알려주지 않는다. 정보가 없어서 항상 참이다. 이 통찰이 나중에 비트겐슈타인의 『논리철학논고』에서 논리학 전체의 지위를 규정한다.
인출 문제
문제 1. P ∧ Q가 참이 되는 조건은?
💡 연언(∧)은 둘 다 참일 때만 참이다. 하나라도 참이면 되는 것은 선언(∨), 진리값이 같으면 참인 것은 쌍조건(↔)이다.
문제 2. "짜장 아니면 짬뽕 시켜" (둘 다는 안 됨)를 논리학의 ∨로 옮기면 생기는 문제는?
💡 논리학의 ∨는 포괄적 또는이라 둘 다 시키는 경우도 참이 된다. 일상어의 배타적 또는(XOR)과 다르다. 일상 언어를 기호로 옮길 때 가장 흔한 어긋남이다.
문제 3. 다음 중 항진명제는?
💡 P → P는 모든 행에서 참인 항진명제다. P ∧ ¬P는 모순명제, 나머지 둘은 P·Q 값에 따라 갈리는 우연명제다.
문제 4. "약속으로서의 조건문" 이해에 따르면 "비가 오면 우산을 가져간다"가 거짓이 되는 유일한 상황은?
💡 조건문 P→Q가 거짓인 경우는 P 참, Q 거짓 단 하나다. 비가 안 온 날은 약속이 깨질 방법이 없으므로 참으로 친다.
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